Methodus inveniendi lineas curvas

ELASTICIS. 275 49. Ponamus ergo laminam in statu naturali amB habere figuram circularem; erit $r$ radius ejus circuli qui fit $=a$, unde fit $P(c+x) = Ekk(\frac{1}{R} - \frac{1}{a})$. Multiplicetur hæc æquatio per $dx$, & integretur; orietur $\frac{P}{Ekk}(\frac{1}{2}xx+cx+f) = -\frac{dy}{ds} - \frac{x}{a}$: quæ æquatio, si loco $c$ scribatur $c+\frac{Ekk}{P}$; abibit in $\frac{P}{Ekk}(\frac{1}{2}xx+cx+f) = -\frac{dy}{ds}$: quæ est eadem æquatio quam supra pro lamina naturaliter recta invenimus. Lamina ergo naturaliter circularis in easdem curvas incurvatur, quæ laminæ naturaliter rectæ inducuntur: tantum scilicet locus applicationis potentiæ, seu intervallum $AC=s$, pro utroque casu secundum datam legem variari debebit. Eædem ergo novem species curvarum prodibunt pro figuris, quas lamina naturaliter circularis inducere potest, quas supra numeravimus. Lamina enim circularis, si intervallum $AC$ capiatur infinitum, primum in lineam rectam extendi potest; tum quæcunque potentia insuper applicata eundem præstabit effectum, ac si sola laminæ elasticæ naturaliter rectæ applicaretur. 50. Ponamus autem, quæcunque sit laminæ figura naturalis, punctum $C$ infinite distare; ita ut momentum vis sollicitantis ubique sit idem, quod per $Ekk$ divisum ponatur $=\frac{1}{b}$; eritque $\frac{1}{b} = \frac{1}{R} - \frac{1}{r}$ & $\frac{1}{R} = \frac{1}{b} + \frac{1}{r}$. Hinc fiet $\int \frac{ds}{R} = \frac{s}{b} + \int \frac{ds}{r}$ amplitudini arcus $AM$; sicuti $\int \frac{ds}{r}$ exprimit amplitudinem arcus $am$; quemadmodum quidem Celeb. Joh. BERNOULLI hoc amplitudinis nomine in eximio Tractatu *De motu reptorio* uti est solitus. Sit igitur $\frac{s}{b} + \int \frac{ds}{r}$ arcus in circulo, cujus radius $=1$ sumptus, qui ob $r$ per $s$ datum, quoque in $s$ erit cognitus. Hinc autem reperientur coordinatæ orthogonales $x$ & $y$, ita ut fit Mm 2 $x=$