Methodus inveniendi lineas curvas

306 DE CURVIS unde fit $Ekkddy = \frac{M}{af} \int dx \int ydx - Px$. Facto ergo $x=0$, erit radius ofculi R in A infinitus, ideoque $ddy=0$. 91. Si haec aequatio bis differentietur; prodibit eadem aequatio, quam pro casibus praecedentibus invenimus, $Ekkd^4y = \frac{M}{af} ydx^4$ Quod si ergo ponatur $\frac{Ekk\,af}{M} = c^4$, erit aequatio integralis $y = A e^{\frac{x}{c}} + B e^{-\frac{x}{c}} + C \sin. \frac{x}{c} + D \cos. \frac{x}{c}$. Ad quam determinandam, ponatur $x=0$, & quia simul y evanescere debet, erit $0 = A+B+D$. Secundo, ponatur $x=a$, & quia pariter fieri debet $y=0$, erit $0 = A e^{\frac{a}{c}} + B e^{-\frac{a}{c}} + C \sin. \frac{a}{c} + D \cos. \frac{a}{c}$. Tertio, quia $\frac{ddy}{dx^2}$ evanescere debet, posito & $x=0$ & $x=a$; fiet $0 = A+B-D$, & $0 = A e^{\frac{a}{c}} + B e^{-\frac{a}{c}} - C \sin. \frac{a}{c} - D \cos. \frac{a}{c}$. Jam aequationes $0 = A+B-D$ & $0 = A+B+D$ dant $D=0$, & $B=-A$; qui valores in reliquis duabus aequationibus substituti praebent $0 = A(e^{\frac{a}{c}} - e^{-\frac{a}{c}}) + C \sin. \frac{a}{c}$, & $0 = A(e^{\frac{a}{c}} - e^{-\frac{a}{c}}) - C \sin. \frac{a}{c}$; quibus satisfieri nequit, nisi fit $A=0$, quia non potest esse $e^{\frac{a}{c}} = e^{-\frac{a}{c}}$, praeter casum $\frac{a}{c}=0$; tum vero esse debet $C \sin. \frac{a}{c} = 0$. Hic cum nequeat poni $C=0$, quia motus oscillatorius foret nullus, erit $\sin. \frac{a}{c} = 0$, ideoque vel