Methodus inveniendi lineas curvas

312 DE MOTU PROJECTORUM. criptam ita fore comparatam, ut, inter omnes alias lineas iisdem terminis contentas, sit $\int M ds \sqrt{v}$, seu, ob $M$ constans $\int ds \sqrt{v}$ minimum. Quod si autem curva quaesita tanquam esset data spectetur, ex viribus sollicitantibus celeritas $\sqrt{v}$ per quantitates ad curvam pertinentes definiri, ideoque ipsa curva per Metho- dum maximorum ac minimorum determinari potest. Ceterum haec expressio ex quantitate motus petita aeque ad vires vivas traduci poterit; posito enim tempulsculo, quo elementum $ds$ percurritur, $=dt$; quia est $ds = dt \sqrt{v}$, fiet $\int ds \sqrt{v} = \int v dt$; ita ut, in curva a corpore projecto descripta, summa omnium vi- rium vivarum, quae singulis temporis momentis corporis insunt, fit minima. Quamobrem neque ii qui vires per ipsas celeri- tates, neque illi qui per celeritatum quadrata aestimari opor- tere statuunt, hic quicquam quo offendantur reperient. 3. Primum igitur, si corpus a nullis prorsus viribus sollicita- ri ponamus, ejus quoque celeritas, ad quam hic solum attendo (directionem enim ipsa Methodus maximorum & minimorum complectetur), nullam patietur alterationem; eritque ideo $v$ quantitas constans, puta $=b$. Hinc corpus a nullis viribus sollicitatum, si utcunque projiciatur, ejusmodi describet lineam, in qua fit $\int ds \sqrt{b}$ vel $\int ds = s$ minimum. Via ergo haec, in- ter omnes iisdem terminis contentas, ipsa erit minima; atque adeo recta: prorsus uti prima Mechanicae principia postulant. Hunc quidem casum non adeo hic affero, quo principium meum confirmari putem; quamcunque enim, loco celeritatis $\sqrt{v}$, aliam assumsissem functionem ipsius $v$, eadem prodiisset via recta; ve- rum a casibus simplicissimis incipiendo facilius ipsa consensus ra- tio intelligi poterit. 4. Progredior ergo ad casum gravitatis uniformis, seu quo corpus projectum ubique, secundum directiones ad horizontem normales, deorsum sollicitetur a vi constante acceleratrice $=g$. Fig. 26. Sit AM curva, quam corpus in hac hypothesi describit, suma- tur recta verticalis AP pro axe, ac ponatur abscissa $AP=x$, applicata $PM=y$, & elementum curvae $Mm=ds$; erit ergo, ex natura sollicitationis, $dv=g dx$, & $vv = \mathfrak{a} + gx$. Hinc curva