Methodus inveniendi lineas curvas

DE MOTU PROJECTORUM. 313 curva ita erit comparata, ut in ea fit $\int \frac{ds}{\sqrt{a+gx}}$ minimum. Ponatur $dy = pdx$, ut sit $ds = dx\sqrt{1+pp}$, atque minimum esse debet $\int dx\sqrt{(a+gx)(1+pp)}$; quae expressio cum forma generali $\int Zdx$ comparata dat $Z = \sqrt{(a+gx)(1+pp)}$; quare, cum positum fit $dZ = Mdx + Ndy + Pdp$, erit $N=0$ & $P = \frac{p\sqrt{a+gx}}{\sqrt{1+pp}}$. Quia ergo valor differentialis est $N - \frac{dP}{dx}$; ob $N=0$, fiet praesenti casu $dP = 0$, & $P = \sqrt{C}$. Habebitur ergo $\sqrt{C} = \frac{p\sqrt{a+gx}}{\sqrt{1+pp}} = \frac{dy\sqrt{a+gx}}{ds}$; unde fit $Cdx^2 + Cdy^2 = dy^2(a+gx)$, & $dy = \frac{dx\sqrt{C}}{\sqrt{a-C+gx}}$; quae integrata dat $y = \frac{2}{g}\sqrt{C(a-C+gx)}$. 5. Manifestum quidem est hanc aequationem esse pro Parabola. At ejus consensum cum veritate attentius considerasse juvabit. Primum ergo patet tangentem hujus curvae esse horizontalem, seu $dx=0$; ubi est $a-C+gx=0$. Cum igitur principium abscissarum A ab arbitrio nostro pendeat, sumatur id in hoc ipso loco, fietque $C=a$; tum vero ipse axis per hoc punctum curvae summum transeat, ita ut, posito $x=0$, fiat simul $y=0$. His consideratis, aequatio pro curva erit haec $y = 2\sqrt{\frac{ax}{g}}$; quam non solum patet esse pro Parabola; sed etiam, cum celeritas in puncto A fit $\sqrt{a}$, altitudo CA, ex qua corpus labendo ab eadem vi $g$ sollicitatum eam ipsam acquirit celeritatem, qua in puncto A movetur, erit $= \frac{a}{g}$; hoc est, quartae parametri parti aequatur; prorsus uti ex doctrina motus projectorum per Methodum directam intelligitur. 6. Sollicitetur, ut ante, corpus ubique verticaliter deorsum, at ipsa vis sollicitans non sit constans, sed pendeat utcunque ab altitudine CP. Scilicet posita abscissa $CP = x$, fit vis qua corpus in M deorsum nititur $= X$ functioni cuicunque ipsius $x$. Si ergo vocetur applicata $PM = y$, elementum arcus Euleri de Max. & Min. Rr Mm