Methodus inveniendi lineas curvas

DE MOTU PROJECTORUM. 315 ponatur $v$, erit enim $\frac{2vdp}{(1+pp)^{3/2}} = \frac{Xdy-Ydx}{\sqrt{(1+pp)}}$. At est radius osculi $r = -\frac{(1+pp)^{3/2}dx}{dp}$, quo introducto est $\frac{2v}{r} = \frac{Ydx-Xdy}{ds}$; ubi est $\frac{2v}{r}$ vis corporis centrifuga, & $\frac{Ydx-Xdy}{ds}$ exprimit vim normalem ex viribus sollicitantibus ortam; quarum virium aequalitas utique in omni motu projec- torum locum habet. 8. Aequatio autem inventa $\frac{2dp}{1+pp} = \frac{Xdy-Ydx}{A-\int Xdx - \int Ydy}$ ita ge- neraliter est integrabilis, si multiplicetur per $\frac{1}{p(A-\int Xdx - \int Ydy)}$; fiet enim $\frac{2pdp(A-\int Xdx - \int Ydy)}{(1+pp)^2} - \frac{ppXdx+Ydy}{1+pp} = 0$; quae integrata dat $-\frac{p^2\int Xdx + \int Ydy - A}{1+pp} = C$, seu $\int Ydy - p^2\int Xdx = A+C+Cpp$, unde $p = \frac{\sqrt{(B+\int Ydy)}}{\sqrt{(C+\int Xdx)}}$; posito $B$ pro $-A-C$. Cum ergo sit $p = \frac{dy}{dx}$, erit $\int \frac{dy}{\sqrt{(B+\int Ydy)}} = \int \frac{dx}{\sqrt{(C+\int Xdx)}}$, aequatio pro curva quaesita, in qua variabiles $x$ & $y$ sunt a se invicem separatae. Vel si constantes $B$ & $C$ in negativas convertantur, erit $\int \frac{dy}{\sqrt{(B-\int Ydy)}} = \int \frac{dx}{\sqrt{(A-\int Xdx)}}$. Ex quibus etsi curvae constructio facilis habetur, tamen aequationes algebraicae, quo- ties quidem in ipsis continentur, non tam facile eruuntur. Sint $X$ & $Y$ functiones similes & quidem potestates ipsarum $x$ & $y$, ita ut sit $\int \frac{dy}{\sqrt{(b^n-y^n)}} = \int \frac{dx}{\sqrt{(a^n-x^n)}}$, quae aequatio, si $n=1$, praebet Parabolam; sin $n=2$, Ellipsin centrum in C habentem: etsi hoc casu utraque integratio quadraturam Circuli requi- Rr 2