Methodus inveniendi lineas curvas

34 DE METHODO MAX. ET MIN. SCHOLION. 6. Probe notandum est hunc modum incrementa functionum seu quantitatum ex $x$, $y$, $p$, $q$, &c. harumque derivatis $y'$, $y''$, $p'$, $p''$, &c. datarum incrementa inveniendi, tantum ad functiones determinatas patere, minime vero ad indeterminatas extendi posse. Quod si enim functio proposita fuerit indeterminata, seu formula integralis indefinita, integrationem neque algebraice neque transcendenter admittens, tum differentiatione nihil consequimur ad ejus incrementum inveniendum. In sequentibus autem, ubi ejusmodi maximi minimive formulas $\int Z dx$ sumus contemplaturi, in quibus $Z$ fit functio talis indeterminata, in hujusmodi functionum incrementa sumus inquisituri. Sin autem $Z$ fuerit functio determinata, propositi Problematis solutio sufficere potest ad solutiones Problematum huc pertinentium absolvendas. PROPOSITIO II. PROBLEMA. Fig. 4. 7. Si fuerit $Z$ functio determinata ipsarum $x$ & $y$ tantum, invenire curvam $az$, in qua valor formulæ $\int Z dx$ sit maximus vel minimus. S O L U T I O. Concipiatur abscissa AZ, cui maximum minimumve formulæ $\int Z dx$ respondere debet, divisa in innumerabilia elementa æqualia, singula per $dx$ denotanda; positaque abscissa indefinita AM $=x$, & applicata Mm $=y$, ex formula $\int Z dx$ elemento MN respondebit $Z dx$; atque secundum receptum notandi modum, elemento sequenti NO respondebit $Z' dx$, & sequentibus elementis OP, PQ &c. respondebunt valores $Z'' dx$, $Z''' dx$, &c. antecedentibus vero elementis LM, KL, IK, respondebunt $Z_{,} dx$; $Z_{,,} dx$; $Z_{,,,} dx$, &c. Quare si curva $az$ sit ea ipsa quæ quæritur, debebit esse $Z dx + Z' dx + Z'' dx +$ &c. una, cum $Z_{,} dx$