Methodus inveniendi lineas curvas

AD CURVAS INVENIENDAS ABSOLUTA. 35 $Z,dx + Z,,dx + Z,,,dx + \text{&c.}$ maximum vel minimum. Quod si igitur una applicata $Nn = y'$ augeatur particula $n\nu$, illa expressio eundem valorem retinere, atque adeo valor differentialis formulæ $\int Zdx$, seu summæ terminorum $Zdx + Z'dx + Z''dx + Z'''dx + \text{&c.}$ una cum $Z,dx + Z,,dx + Z,,,dx + \text{&c.}$ evanescere debet. Singulorum igitur horum terminorum valores differentiales, qui oriuntur ex translatione puncti $n$ in $\nu$, investigari debebunt; eorumque aggregatum erit valor differentialis formulæ $\int Zdx$ respondens, qui positus $= 0$ æquationem pro curva quæsita præbebit. Quoniam autem $Z$ ponitur functio determinata ipsarum $x$ & $y$; habebit ipsius differentiale $dZ$ hujusmodi formam $Mdx + Ndy$; ita ut sit $dZ = Mdx + Ndy$. Valorum igitur derivatorum ipsius $Z$ differentialia ita se habebunt. $dZ' = M'dx + N'dy'$ | $dZ, = M,dx + N,dy,$ $dZ'' = M''dx + N''dy''$ | $dZ,, = M,,dx + N,,dy,,$ $\text{&c.}$ | $\text{&c.}$ Cum nunc valores differentiales terminorum $Zdx, Z'dx, Z''dx, \text{&c.}$ itemque ipsorum $Z,dx, Z,,dx, \text{&c.}$ inveniantur, si hi termini differentientur, atque loco $dy'$ in differentialibus scribatur $n\nu$, loco omnium reliquorum differentialium vero $0$; manifestum est solum terminum $Z'dx$ habiturum esse valorem differentialem, quoniam in ejus solius differentiali occurrit $dy'$. Scripto itaque $n\nu$ loco $dy'$, erit termini $Z'dx$ valor differentialis $= N'dx . n\nu$, qui simul erit valor differentialis totius formulæ $\int Zdx$; quia reliqui termini præter $Z'dx$ nullam variationem patiuntur. Loco $N'$ autem ponere poterimus $N$, quia est $N' = N + dN$, & $dN$ præ $N$ evanescit. Pro curva igitur quæsita, in qua fit $\int Zdx$ maximum vel minimum, ista habetur æquatio $Ndx . n\nu = 0$ seu $N = 0$; existente $dZ = Mdx + Ndy$. Q. E. I. E 2 Co.