Methodus inveniendi lineas curvas

38 DE METHODO MAX. ET MIN. $\int zdx$ pro quacunque abscissa tam in infinitum crescere quam decrescere posse. SCHOLION II. 15. Ex eadem etiam solutione reperiri poterunt illae curvae maximi minimive proprietate praeditae alterius generis supra memoratae, ad quas non pervenitur per valores differentiales evanescentes, sed infinite magnos; quod maximorum & minimorum genus ab illo maxime discrepat. Reperientur autem istae curvae, si valor differentialis $Ndx. y$, non nihilo, sed infinito aequalis ponatur. Quoties igitur haec aequatio $N = \infty$ lineam aliquam curvam suggerit; tum in ea pariter formula $\int zdx$ maximum vel minimum obtinebit valorem: Hoc scilicet eveniet, quando pro $N$ prodit fractio, cujus denominator nihilo aequalis positus, praebet aequationem pro aliqua linea curva. Hoc itaque pacto plures curvae reperiri possunt, quae eidem quaestioni satisfaciant; quarum aliae maxima continebunt, aliae minima. Fieri etiam potest, ut plures quam duae curvae Problemati satisfacientes reperiantur, etiamsi binae tantum oriri queant aequationes, scilicet $N=0$ & $N = \infty$. Si enim $N$ fuerit quantitas ex factoribus composita; tum quilibet factor, vel nihilo vel infinito aequalis positus, dabit aequationem pro curva satisfaciente; constat enim saepenumero plura maxima pluraque minima locum habere posse. Haec autem omnia clarius enodabuntur in sequentibus Exemplis in hoc Problemate contentis. EXEMPLUM I. 16. Invenire curvam, qua, inter omnes omnino curvas eidem abscissae respondentes, habeat $\int XYdx$ maximum vel minimum; denotante $X$ functionem ipsius $y$, & $Y$ ipsius $y$ tantum. In hoc igitur casu fiet $Z = XY$; ideoque $dZ = YdX + XdY = Mdx+Ndy$. Erit ergo $M = \frac{YdX}{dx}$ & $N = \frac{XdY}{dy}$; &