Methodus inveniendi lineas curvas

AD CURVAS INVENIENDAS ABSOLUTA. 39 ob $X$ ipsius $x$ & $Y$ ipsius $y$ functionem. Pro curva igitur quæsita erit $N - \frac{X dY}{dy} = 0$: quoniam autem $Y$ est functio ipsius $y$, ponatur $\frac{dY}{dy} = \Theta$; erit $\Theta$ pariter functio ipsius $y$; ideoque pro curva quæsita, si quæ satisfacit, habetur hæc æquatio $X \Theta = 0$, ideoque vel $X=0$, vel $\Theta=0$; qua- rum cum neutra lineam curvam præbeat, apparet huic quæstio- ni nullam omnino curvam satisfacere, sed valorem propositum $\int XY dx$ in infinitum cum augeri tum diminui posse. Ex æqua- tione autem $\Theta=0$, quia $\Theta$ est functio ipsius $y$, sequitur $y=$ Const. quæ æquatio præbet lineam rectam parallelam abscissæ AZ, cujus distantia tanta est, ut fiat functio $Y$ maxima vel minima. Patet enim, si quantitas $Y$ maximum minimumve va- lorem admittat, tum etiam formulam $\int XY dx$ fieri maximum vel minimum. Altera autem æquatio $X=0$, quia præbet $x=$ Const. nequidem lineam rectam quæstioni satisfacientem exhibet; quia præbet lineam rectam normalem ad abscissam, quæ propterea non datæ abscissæ cuipiam, sed tantum ejus uni puncto respondebit. EXEMPLUM II. 17. Invenire curvam, quæ, inter omnes eidem abscissæ respon- dentes curvas, habeat valorem formulæ $\int (ax-yy)y dx$ maxi- mum vel minimum. Si hæc formula cum generali $\int Z dx$ comparetur, fiet $Z=axy-y^3$, ideoque $dZ = ay dx + (ax-3yy)dy$; ita ut fiat $M=ay$ & $N=ax-3yy$; unde pro curva quæsita habebi- tur ista æquatio $ax-3yy=0$, seu $yy = \frac{1}{3}ax$, quæ est pro Parabola verticem in A, axem AZ & parametrum $=\frac{1}{3}a$ habente. In hac igitur Parabola, erit valor formulæ $\int(ax-yy)y dx$ maximus vel minimus. Utrum autem fit maximus an minimus, reperietur, si aliam quamcunque lineam loco Parabo- læ substituamus, atque inquiramus utrum pro ea valor formulæ propositæ major fit an minor quam pro Parabola. Sumamus igitur