Methodus inveniendi lineas curvas

42 DE METHODO MAX. ET MIN. SCHOLION 20. Problemata etiam resolvi possunt per Methodum maximorum & minimorum vulgarem. Quando enim curva quaeritur pro qua valor ipsius $∫Zdx$ fit maximus vel minimus, idque pro qualibet abscissa; manifestum est siquidem $z$ fit functio determinata ipsarum $x$ & $y$, formulam $∫Zdx$ maximum minimumve esse non posse, nisi elementum ejus $Zdx$ ac proinde ipsum $Z$ tale fit. Quamobrem quaestioni satisfiet, si quantitas $Z$ differentietur posito $x$ constante, ejusque differentiale ponatur $= 0$. Tum enim perpetuo $Z$ habebit valorem maximum vel minimum, ac proinde etiam $Zdx$ & ipsa formula $∫Zdx$. Quod si autem functio $z$ differentietur, posito $x$ constante, prodibit $Ndy$; quoniam generaliter differentiando posuimus $dZ = Mdx+Ndy$; satisfietque ponendo $N=0$: quae est eadem solutio, quam per Methodum traditam invenimus. Quamvis autem hinc videantur istae quaestiones simili modo resolvi posse, quo in Methodo maximorum & minimorum vulgari; tamen hoc tantum evenit, si $Z$ fuerit functio ipsarum $x$ & $y$ tantum; namque si in $z$ praeterea insint quantitates ex differentialibus ortae $p, q, r,$ &c: tum vulgaris Methodus nullius amplius usus esse potest. Etsi enim tum differentietur functio $Z$ posito $x$ constante, tamen in differentiale etiam ingrederentur differentialia $dp, dq, dr,$ &c. quorum relatio ad $dy$ cum non constet, aequatio inde ad maximum minimumve determinandum apta deduci non poterit. His igitur casibus utilitas & necessitas nostrae Methodi maxime cernetur. PROPOSITIO III. PROBLEMA. Fig. 4. 21. Si $Z$ fuerit functio ipsarum $x, y,$ & $p$ determinata, ita ut sit $dZ=Mdx+Ndy+Pdp$; invenire, inter omnes curvas eidem abscissae respondentes, eam in qua fit $∫Zdx$ maximum vel minimum. SOLUTIO.