Methodus inveniendi lineas curvas

AD CURVAS INVENIENDAS ABSOLUTA 45 rum constantem, multiplicata. Sit enim $V$ functio ipsarum $x$ & $y$ tantum; ita ut fit $dV=Mdx+Ndy$; atque $Z=V(n+p)$, erit $dZ=(n+p)Mdx+(n+p)Ndy+Vdp$. Hincque aequatio pro curva quaesita erit $0=(n+p)N - \frac{dV}{dx}$? seu $(n+p)Ndx=dV=Mdx+Ndy$. COROLL. VI. 27. His igitur casibus, quibus est $Z=V(n+p)$, existente $V$ functione ipsarum $x$ & $y$ tantum, non pervenitur ad aequationem differentialem secundi gradus: quia $dp$ in ea prorsus non inest. Verum nequidem ad differentialem aequationem primi gradus pervenitur; sed adeo ad algebraicam. Nam cum fit $pdx=dy$, erit $(n+p)Ndx=nNdx+Ndy$; quod ipsi $Mdx+Ndy$ aequale positum, dabit aequationem per $dx$ divisibilem, adeoque algebraicam, hanc $nN=M$, siquidem $V$ fuerit functio algebraica. COROLL. VII. 28. Quoties autem hoc evenit, maximi minimive formula, quae est $\int Zdx$, erit talis formae, $\int (Vndx+Vdy)$, vel posito $n=0$, talis $\int Vdy$. Hujusmodi igitur maximi minimive formulae pariter ad aequationem determinatam pro curva quaesita deducunt, ita ut non liceat unum plurave puncta praescribere, per quae curva transire debeat. COROLL. VIII. 29. Posita igitur $V$ functione ipsarum $x$ & $y$, ista maximi minimive formula $\int Vdy$ pari modo tractatur, quo $\int Vdx$. Nam, posito $dV=Mdx+Ndy$, formulae $\int Vdx$ respondet aequatio pro curva haec $N=0$, ita alteri formulae $\int Vdy$ respondet aequatio $M=0$. Ex quo perspicuum est coordinatas $x$ & $y$ inter se commutari posse. F 3 SCHO.