Methodus inveniendi lineas curvas

46 DE METHODO MAX. ET MIN. SCHOLION I. 30. Apparet itaque in solutione hujusmodi Problematum, quibus quæritur curva valorem formulæ $∫Zdx$ maximum minimumve habens, existente $Z$ functione ipsarum $x, y, \& p$, perveniri ad æquationem differentialem secundi gradus, nisi in $Z$ quantitas $p$ unicam tantum habeat dimensionem. Sæpe numero autem ista æquatio differentialis secundi gradus integrationem admittit, de quo in singulis casibus erit videndum. Interim hic annotasse juvabit, generaliter integrationem succedere, si in functione $Z$ omnino non insit $x$, hoc est, si in ejus differentiali $dZ=Mdx+Ndy+Pdp$ valor $M$ evanescat, ita ut sit tantum $dZ=Ndy+Pdp$. Cum enim pro curva inventa sit hæc æquatio $N-\frac{dP}{dx}=0$; multiplicetur ea per $dy$, & quia est $dy=pdx$, ea abibit in hanc $Ndy-pdP=0$, cui æquivalet ista $Ndy+Pdp=Pdp+pdP=dZ$, cujus integrale est $Z+C=Pp$, quæ æquatio jam tantum est differentialis primi gradus. Quoties ergo inter omnes curvas eidem abscissæ respondentes ea quæritur, in qua sit valor formulæ $∫Zdx$ maximus vel minimus, atque $Z$ tantum sit functio ipsarum $y \& p$, ita ut sit $dZ=Ndy+Pdp$; tum, pro curva satisfaciente, statim exhiberi poterit æquatio differentialis primi gradus ista $Z+C=Pp$. Deinde vero etiam, si $Z$ fuerit functio ipsarum $x \& p$ tantum, atque $dZ=Mdx+Pdp$, evanescente termino $Ndy$, tum pro curva prodibit æquatio differentialis primi gradus. Nam, ob $dP=0$, erit $P=C$, quæ pro curva quæsita dabit æquationem differentialem primi gradus tantum. Quod si autem insuper $M$ evanescat, seu $Z$ functio sit ipsius $p$ tantum, & $dZ=Pdp$; æquatio inventa $P=C$ transmutabitur in istam $Pdp=Cdp=dZ$, quæ denuo integrata dat $Z+D=Cp$. Hoc autem casu, quia $Z \& P$ sunt functiones ipsius $p$ tantum, utraque æquatio $P=C$ & $Z+D=Cp$, præbebit pro $p$ valorem constantem; ideoque æquationem hujus formæ $dy=ndx$, quæ indicat hujusmodi Problematis satisfacere