Methodus inveniendi lineas curvas

48 DE METHODO MAX. ET MIN. EXEMPLUM I. 32. Inter omnes curvas ad eandem abscissam relatas, eam determinare, in qua sit $ \int(Zdx + [Z]dy) $ maximum vel minimum; existentibus $ Z $ & $ [Z] $ functionibus quibuscunque ipsarum $ x $ & $ y $, ita ut sit $ dZ = Mdx + Ndy $ & $ d[Z] = [M]dx + [N]dy $. Ut formula haec $ \int(Zdx + [Z]dy) $ ad formam receptam reducatur, ponatur $ pdx $ loco $ dy $; habebiturque haec formula $ \int(Z + [Z]p)dx $ maxima minimave efficienda. Differentietur ergo valor $ Z + [Z]p $; eritque ejus differentiale $ = Mdx + Ndy + [M]pdx + [N]pdy + [Z]dp $. Jam per regulam inventam, hinc pro curva quaesita ista prodibit aequatio, $ 0 = (N + [N]p)dx - d[Z] = (N + [N]p)dx - [M]dx - [N]dy $: quae, ob $ [N]pdx = [N]dy $, per $ dx $ divisa dabit hanc aequationem pro curva quaesita algebraicam seu finitam $ N - [M] = 0 $. seu $ N = [M] $. Hinc intelligitur si formula proposita $ \int(Zdx + [Z]dy) $ fuerit determinata, seu differentiale $ Zdx + [Z]dy $ ita comparatum, ut integrationem admittat; tum nullam lineam quaesito esse satisfacturam, seu potius omnes lineas aeque satisfacere. Nam si $ Zdx + [Z]dy $ integrationem admittit, per se erit $ N = [M] $; uti alibi de formulis differentialibus duarum variabilium determinatis demonstravimus; ideoque his casibus prodit aequatio identica $ 0 = 0 $. Hincque luculenter intelligitur, quod jam ante notavimus, maximi minimive formulam oportere esse formulam indeterminatam; alioquin enim omnes lineae curvae aeque satisfacerent. EXEMPLUM II. 33. Inter omnes lineas ad eandem abscissam relatas, determinare eam, cujus longitudo sit minima; seu in qua sit $ \int dx\sqrt{1+pp} $ minimum. Primum quidem apparet in hac quaestione maximum non dari,