Methodus inveniendi lineas curvas

AD CURVAS INVENIENDAS ABSOLUTA. 49 ri, cum linearum longitudo in infinitum augeri queat, manente abscissa eadem. Ita minimum tantum habebit locum, id quod ex ipsa Geometria elementari constat, in qua demonstratur li- neam rectam inter omnes alias lineas intra eosdem terminos si- tas esse brevissimam. Hoc igitur Exemplum ideo attulisse visum est, cum ut consensus nostræ Methodi cum veritate aliunde jam cognita intelligatur, tum etiam ut circumstantia de duobus punctis arbitrariis, quæ ad hujus generis quæstiones addi debet, melius percipiatur. Erit igitur, formula $∫dx√(1+pp)$ cum generali $∫Zdx$ comparata, $Z=√(1+pp)$, & $dZ = \frac{pdp}{√(1+pp)}$; unde fit $M=0$, $N=0$, & $P = \frac{p}{√(1+pp)}$. Quare, cum in genere æquatio pro linea quæsita fit $N - \frac{dP}{dx} = 0$, habebi- mus hoc casu $dP=0$; ideoque $P = \frac{p}{√(1+pp)} = \text{Const.}$ ex qua æquatione oritur $p = \text{Const.} = n$, seu $dy=ndx$, quæ denuo integrata dat $y=a+nx$. Non solum ergo patet lineam quæsitam esse rectam, sed etiam, ob duas arbitrarias constan- tes $a$ & $n$, rectam utcunque ductam. Quare si per data duo puncta linea duci jubeatur brevissima, erit illa recta. Similiter autem intelligitur, si linea debeat inveniri, in qua sit $∫Zdx$, ubi $Z$ est functio ipsius $p$ tantum, maximum vel minimum, tum lineam rectam tantum satisfacere; uti ante jam notavimus. EXEMPLUM III. 34. Inter omnes curvas ad eandem abscissam relatas, determina- re eam, in qua sit $∫\frac{dx√(1+pp)}{√x}$ maximum vel minimum. Hæc formula oritur, si quæratur linea celerrimi descensus; in hypothesi gravitatis uniformis, ponendo axem in quo abscis- sæ capiuntur verticalem. Erit igitur $Z = \frac{√(1+pp)}{√x}$ & $dZ =$ Euleri de Max. & Min. G