Methodus inveniendi lineas curvas

50 DE METHODO MAX. ET MIN. $ = \frac{-dx\sqrt{(1+pp)}}{2x\sqrt{x}} + \frac{pdp}{\sqrt{x(1+pp)}} $; unde fit $ M = \frac{-\sqrt{(1+pp)}}{2x\sqrt{x}} $. $ N=0 $, & $ P = \frac{p}{\sqrt{x(1+pp)}} $. Cum jam curva quaesita expri- matur aequatione $ N - \frac{dP}{dx} = 0 $; erit $ dP=0 $, & $ P (= $ $ \frac{p}{\sqrt{x(1+pp)}}) = \text{Const.} = \frac{1}{\sqrt{a}} $; quae reducta praebet $ ap^2 = x+p^2x $, & $ p=\frac{dy}{dx} = \sqrt{\frac{x}{a-x}} $, seu $ y = \int dx \sqrt{\frac{x}{a-x}} $, quae aequatio indicat, curvam quaesitam esse Cycloidem super basi horizontali natam, & cuspidem in suprema axis regione habentem: quae adeo per data duo quaecunque puncta duci poterit. EXEMPLUM IV. 35. Inter omnes curvas eidem abscissae respondentes, eam determinare in qua sit $ \int y^n [TRUNCATED]