Methodus inveniendi lineas curvas

AD CURVAS INVENIENDAS ABSOLUTA. 51 quae linea per data duo puncta duci potest. Si fuerit $n=$ $-\frac{1}{2}$, ita ut $\int \frac{dx\sqrt{(1+pp)}}{\sqrt{y}}$ debeat esse maximum vel minimum; pariter prodire debet linea brachystochrona ad axem horizontalem relata; eritque pro ea $x=\int dy \sqrt{\frac{y}{a-y}}$; quae cum praecedente omnino congruit, dummodo coordinatae $x$ & $y$ inter se commutentur. Erit scilicet, ut ante, curva satisfaciens Cyclois super basi horizontali rotando generata, qualem per data duo quaecunque puncta ducere licet. EXEMPLUM V. 36. Inter omnes curvas eidem abscissae respondentes eam determinare, in qua fit $\int \frac{ydy^3}{dx^2+dy^2}$ maximum vel minimum Formula haec ad formam consuetam, ope substitutionis $dy=pdx$, reducta, abit in hanc $\int \frac{yp^3dx}{1+pp}$; eaque reperiri solet, si quaeratur solidum rotundum rotatione curvae circa axem ortum, quod secundum axis directionem in fluido motum minimam patiatur resistentiam: resistentia namque hoc casu proportionalis censetur formulae $\int \frac{ydy^3}{dx^2+dy^2}$ seu $\int \frac{yp^3dx}{1+pp}$. Erit ergo $Z=\frac{yp^3}{1+pp}$ & $dZ = \frac{p^3dy}{1+pp} + \frac{ydp(3pp+p^4)}{(1+pp)^2}$; ita ut fiat $M=0$, $N = \frac{p^3}{1+pp}$ & $P=\frac{p^2y(3+pp)}{(1+pp)^2}$. Cum igitur fit $M=0$; una integratio generaliter succedit, eritque aequatio pro curva quaesita $Z+C=Pp$, seu $\frac{yp^3}{1+pp}+a=\frac{p^3y(3+pp)}{(1+pp)^2}$; quae abit in hanc $a(1+pp)^2=2p^3y$. Hujus aequationis autem evolutio non ita potest institui ut eliminetur $p$; quare conveniet utramque coordinatam $y$ & $x$ per eandem variabilem $p$ definiri. Ac primo quidem est $y=\frac{a(1+pp)^2}{2p^3}$. Deinde, ob $dy=pdx$ G 2 erit