Methodus inveniendi lineas curvas

32 DE METHODO MAX. ET MIN. erit $dx = \frac{dy}{p}$ & $x = \int \frac{dy}{p} = \frac{y}{p} + \int \frac{ydp}{pp}$. Quod si ergo loco $y$ valor inventus substituatur, prodibit $x = \frac{a(1+pp)^{\frac{3}{2}}}{2p^4} + a \int \frac{dp(1+pp)^{\frac{1}{2}}}{2p^5} = \frac{a}{2}(\frac{3}{4p^4} + \frac{1}{pp} + 1 + lp)$: ex quibus curvæ constructio poterit confici, logarithmis in subsidium vocandis. EXEMPLUM VI. 37. Invenire curvam, in qua ista formula $\int yx dx \sqrt{(1+pp)}$ sit maximum minimumve. Erit ergo $Z = yx \sqrt{(1+pp)}$, atque $dZ = ydx \sqrt{(1+pp)} + xdy \sqrt{(1+pp)} + \frac{yxpdp}{\sqrt{(1+pp)}}$. Hanc ob rem habebitur $M = y\sqrt{(1+pp)}$, $N = x\sqrt{(1+pp)}$ & $P = \frac{yxp}{\sqrt{(1+pp)}}$; unde æquatio pro curva formabitur hæc $Ndx = dP$, quæ suggerit $xdx\sqrt{(1+pp)} = \frac{p^2xdx+ypdx}{\sqrt{(1+pp)}} + \frac{yxdp}{(1+pp)^{\frac{3}{2}}}$, seu $xdx - ydy = \frac{yxdp}{1+pp}$, ob $dy=pdx$. Hæc est æquatio differentialis secundi gradus, & quanquam, ope idonearum substitutionum, ea ad formam simpliciter differentialem reduci potest, eo quod variabiles $x$ & $y$ ubique eundem dimensionum numerum constituunt; tamen æquatio ista differentialis ita est comparata ut neque integrari neque separari possit; deduci scilicet potest ad æquationem hujus formæ $\frac{du}{u^3} + \frac{dv}{v^3} = \frac{vdu(1+u^3)}{u^3}$. Quod cum ita sit, neque æquatio inventa $xdx-ydy = \frac{yxdp}{1+pp}$ ad formam vel simpliorem vel commodiorem revocari potest; hincque nihil admodum de natura curvæ inventæ judicare licet. Interim tamen illa æquario potentiâ duas arbitrarias constantes involvit, ex quo curva satisfaciens per bina puncta data duci potest. EXEM-